כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 הווריאציה הראשונה של שטח
1.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
לכל סדרת וקטורים \(\left(v_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(\MKreal^{k}\) ולכל \(p\in\MKreal^{k}\), קיימת סדרת וקטורים \(\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך ש-\(w_{1}=p\) ו-\(w_{n+1}-w_{n}=v_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\). מציאת סדרה \(\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כנ"ל היא פשוטה, נגדיר אותה באופן רקורסיבי ע"י \(w_{1}:=p\) ו-\(w_{n}:=w_{n-1}+v_{n-1}\) לכל \(1<n\in\MKnatural\). כלומר אנו "מתחילים" בנקודה \(p\), ובכל שלב \(n\)-י אנו "שואלים" את הסדרה \(\left(v_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כיצד להתקדם מכאן, ותשובתה היא "התקדמו ע"פ הווקטור \(v_{n}\)". המשפט הבא טוען שניתן להכליל את את הרעיון הזה גם עבור פונקציות:
\(\clubsuit\)
המשפט עובד לפי אותו רעיון: המסילה \(\gamma\) "מתחילה" ב-\(p\), ובכל נקודה היא "שואלת" את השדה הווקטורי \(X\) כיצד להתקדם, אלא שכעת התהליך הזה אינו מתרחש באופן בדיד אלא ברציפות ולכן קשה יותר להוכיח אותו; לא הוכחנו את המשפט בכיתה, אבל אנחנו עומדים להניח אותו עבור המשפטים בפרק זה.
\(\clubsuit\)
משפט זה מאפשר לנו לדבר על הפתרון (בה"א הידיעה) של המשוואה הדיפרנציאלית1משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, והמשוואה קושרת בין הפונקציה לנגזרות שלה. המוגדרת ע"י \(\gamma\left(0\right)=p\) ו-\(\gamma'\left(t\right)=X\left(\gamma\left(t\right)\right)\)2אם רוצים יחידות ממש ניתן לבקש ש-\(\varepsilon\) יהיה המקסימלי מבין אלו שמקיימים את התאנים, אלא שאז ייתכן שאין כזה ותחום ההגדרה הוא כל \(\MKreal\)..
\(\clubsuit\)
ע"פ משפט הקיום והיחידות \(\varphi\) כנ"ל היא יחידה.
\(\clubsuit\)
לא ראינו את ההוכחה בכיתה, זהו חומר של משוואות דיפרנציאליות.
\(\clubsuit\)
הרעיון בהגדרה הוא שהשדה הווקטורי אינו מוציא נקודות מתוך היריעה החוצה.
\(\clubsuit\)
כלומר הדיברגנץ הוא העקבה (trace) של \(\left.D_{e_{i}}X\right|_{p}\).
\(\clubsuit\)
לכל סדרת וקטורים \(\left(v_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(\MKreal^{k}\) ולכל \(p\in\MKreal^{k}\), קיימת סדרת וקטורים \(\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך ש-\(w_{1}=p\) ו-\(w_{n+1}-w_{n}=v_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\). מציאת סדרה \(\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כנ"ל היא פשוטה, נגדיר אותה באופן רקורסיבי ע"י \(w_{1}:=p\) ו-\(w_{n}:=w_{n-1}+v_{n-1}\) לכל \(1<n\in\MKnatural\). כלומר אנו "מתחילים" בנקודה \(p\), ובכל שלב \(n\)-י אנו "שואלים" את הסדרה \(\left(v_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כיצד להתקדם מכאן, ותשובתה היא "התקדמו ע"פ הווקטור \(v_{n}\)". המשפט הבא טוען שניתן להכליל את את הרעיון הזה גם עבור פונקציות:
\(\clubsuit\)
המשפט עובד לפי אותו רעיון: המסילה \(\gamma\) "מתחילה" ב-\(p\), ובכל נקודה היא "שואלת" את השדה הווקטורי \(X\) כיצד להתקדם, אלא שכעת התהליך הזה אינו מתרחש באופן בדיד אלא ברציפות ולכן קשה יותר להוכיח אותו; לא הוכחנו את המשפט בכיתה, אבל אנחנו עומדים להניח אותו עבור המשפטים בפרק זה.
\(\clubsuit\)
משפט זה מאפשר לנו לדבר על הפתרון (בה"א הידיעה) של המשוואה הדיפרנציאלית3משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, והמשוואה קושרת בין הפונקציה לנגזרות שלה. המוגדרת ע"י \(\gamma\left(0\right)=p\) ו-\(\gamma'\left(t\right)=X\left(\gamma\left(t\right)\right)\).
\(\clubsuit\)
ע"פ משפט הקיום והיחידות \(\varphi\) כנ"ל היא יחידה.
\(\clubsuit\)
לא ראינו את ההוכחה בכיתה, זהו חומר של משוואות דיפרנציאליות.
משפט. משפט הקיום והיחידות (גרסה מקוצרת) תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. לכל \(p\in U\) קיימים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ומסילה חלקה \(\gamma:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow U\) כך ש-\(x\left(0\right)=p\) ו-\(\gamma'\left(t\right)=X\left(\gamma\left(t\right)\right)\) לכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\). יתרה מזאת: לכל \(0<\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\in\MKreal\), ולכל שתי מסילות חלקות \(\gamma_{1}:\left(-\varepsilon_{1}\varepsilon_{1}\right)\rightarrow U\) ו-\(\gamma_{2}:\left(-\varepsilon_{2}\varepsilon_{2}\right)\rightarrow U\) המקיימות את התנאים הנ"ל, מתקיים \(\gamma_{1}\left(t\right)=\gamma_{2}\left(t\right)\) לכל \(t\in\left(-\varepsilon_{1}\varepsilon_{1}\right)\cap\left(-\varepsilon_{2}\varepsilon_{2}\right)\).
משפט. תלות חלקה בתנאי התחלה תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. לכל קבוצה פתוחה \(V\subseteq U\) כך ש-\(\overline{V}\) קומפקטית ב-\(U\)4למה אנחנו מסתבכים כל כך: לכל קבוצה \(V\subseteq\MKreal^{n}\), אם \(V\) חסומה אז \(\overline{V}\) קומפקטית..., קיימים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ופונקציה חלקה \(\varphi:V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\), כך שמתקיים (לכל \(\left(p_{0},t_{0}\right)\in V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\)):\[\begin{align*}
\varphi\left(p_{0},0\right) & =p_{0}\\
\left.\frac{d}{dt}\varphi\left(p_{0},t\right)\right|_{t_{0}} & =X\left(\varphi\left(p_{0},t_{0}\right)\right)
\end{align*}\]
הגדרה 1.1. זרימה תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. תהא \(V\subseteq U\) קבוצה פתוחה כך ש-\(\overline{V}\subseteq U\), ויהיו \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ופונקציה חלקה \(\varphi:V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow\MKreal^{n}\), כך שמתקיים (לכל \(\left(p_{0},t_{0}\right)\in V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\)):\[\begin{align*}
\varphi\left(p_{0},0\right) & =p_{0}\\
\left.\frac{d}{dt}\varphi\left(p_{0},t\right)\right|_{t_{0}} & =X\left(\varphi\left(p_{0},t_{0}\right)\right)
\end{align*}\]\(\varphi\) הנ"ל תיקרא הזרימה של \(X\) על \(V\) לאורך זמן \(\varepsilon\), ונסמן \(\varphi_{t}\left(p\right):=\varphi\left(p,t\right)\) לכל \(\left(p,t\right)\in V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\).
הגדרה 1.2. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה \(k\)-ממדית עם/בלי שפה, ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. נאמר ש-\(X\)משיק ל-\(M\) אם \(X\left(p\right)\in T_{p}\left(M\right)\) לכל \(p\in M\).
טענה. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה חלקה \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק, ויהיו \(p\in M\), \(\left(\MKseq e,k\right)\) ו-\(\left(\MKseq E,k\right)\) בסיסים אורתונורמליים של \(T_{p}\left(M\right)\). מתקיים:\[
\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{i}\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{E_{i}}X\right|_{p},E_{i}\right>
\]
הגדרה 1.3. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה חלקה \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. הדיברגנץ של \(X\) (ביחס ל-\(M\)) בנקודה \(p\in M\) הוא:\[
\MKdiv_{M}X\left(p\right):=\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{i}\right>
\]כאשר \(\left(\MKseq e,k\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(T_{p}\left(M\right)\).
\(\:\)
\(\:\)
משפט 1.4. משפט הקיום והיחידות (גרסה מקוצרת) תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. לכל \(p\in U\) קיימים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ומסילה חלקה \(\gamma:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow U\) כך ש-\(x\left(0\right)=p\) ו-\(\gamma'\left(t\right)=X\left(\gamma\left(t\right)\right)\) לכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\). יתרה מזאת: לכל \(0<\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\in\MKreal\), ולכל שתי מסילות חלקות \(\gamma_{1}:\left(-\varepsilon_{1}\varepsilon_{1}\right)\rightarrow U\) ו-\(\gamma_{2}:\left(-\varepsilon_{2}\varepsilon_{2}\right)\rightarrow U\) המקיימות את התנאים הנ"ל, מתקיים \(\gamma_{1}\left(t\right)=\gamma_{2}\left(t\right)\) לכל \(t\in\left(-\varepsilon_{1}\varepsilon_{1}\right)\cap\left(-\varepsilon_{2}\varepsilon_{2}\right)\).
משפט 1.5. תלות חלקה בתנאי התחלה תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. לכל קבוצה פתוחה \(V\subseteq U\) כך ש-\(\overline{V}\) קומפקטית ב-\(U\)5למה אנחנו מסתבכים כל כך: לכל קבוצה \(V\subseteq\MKreal^{n}\), אם \(V\) חסומה אז \(\overline{V}\) קומפקטית..., קיימים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ופונקציה חלקה \(\varphi:V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\), כך שמתקיים (לכל \(\left(p_{0},t_{0}\right)\in V\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\)):\[\begin{align*}
\varphi\left(p_{0},0\right) & =p_{0}\\
\left.\frac{d}{dt}\varphi\left(p_{0},t\right)\right|_{t_{0}} & =X\left(\varphi\left(p_{0},t_{0}\right)\right)
\end{align*}\]
טענה 1.6. תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. לכל \(t_{0}\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\) הפונקציה \(t\mapsto\varphi_{t}\left(\varphi_{t_{0}}\left(p\right)\right)\) מוגדרת על הקטע \(\left(-\varepsilon-t_{0},\varepsilon-t_{0}\right)\), ומתקיים (לכל \(t\in\left(-\varepsilon-t_{0},\varepsilon-t_{0}\right)\)):\[
\varphi_{t}\left(\varphi_{t_{0}}\left(p\right)\right)=\varphi_{t_{0}+t}\left(p\right)
\]ובפרט לכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\) מתקיים \(\varphi_{-t}\circ\varphi_{t}=\varphi_{0}=\MKid\), כלומר \(\left(\varphi_{t}\right)^{-1}=\varphi_{-t}\).
טענה 1.7. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק; ויהיו \(p\in M\), \(\left(\MKseq e,k\right)\) ו-\(\left(\MKseq E,k\right)\) בסיסים אורתונורמליים של \(T_{p}\left(M\right)\). מתקיים:\[
\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{i}\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{E_{i}}X\right|_{p},E_{i}\right>
\]
inverted 0status collapsed
הוכחה. נסמן \(\MKclb:=\left(\MKseq e,k\right)\) ו-\(\MKclc:=\left(\MKseq E,k\right)\), ותהא \(A\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) מטריצה כך שלכל \(n\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(E_{j}=\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot e_{i}\) (כלומר \(A:=\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\)). ומכאן שגם (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[
\left.D_{E_{j}}X\right|_{p}=\left.DX\right|_{p}\left(E_{j}\right)=\left.DX\right|_{p}\left(\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot e_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot\left.DX\right|_{p}\left(e_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot\left.D_{e_{i}}X\right|_{p}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\sum_{j=1}^{k}\left<\left.D_{E_{j}}X\right|_{p},E_{j}\right> & =\sum_{j=1}^{k}\left<\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},\sum_{l=1}^{k}a_{lj}\cdot e_{l}\right>=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{k}\sum_{l=1}^{k}a_{ij}\cdot a_{lj}\cdot\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{l}\right>\\
& =\sum_{i=1}^{k}\sum_{l=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}a_{ij}\cdot a_{lj}\cdot\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{l}\right>
\end{align*}\]אבל מהיות \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים אורתונורמליים נובע ש-\(A\) היא מטריצה אורתוגונלית, כלומר \(A\cdot A^{t}=I_{n}\) ולכן \(\sum_{l=1}^{k}a_{ij}\cdot a_{lj}=\delta_{li}\) לכל \(n\geq j\in\MKnatural\).\[
\Rightarrow\sum_{j=1}^{k}\left<\left.D_{E_{j}}X\right|_{p},E_{j}\right>=\sum_{i=1}^{k}\sum_{l=1}^{k}\delta_{il}\cdot\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{l}\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D_{e_{i}}X\right|_{p},e_{i}\right>
\]
למה 1.8. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), ותהא \(A:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow M_{k}\left(\MKreal\right)\) פונקציה חלקה כך ש-\(A\left(0\right)=I_{k}\). מתקיים:\[
\left(\det\circ A\right)'\left(0\right)=\MKtrace\left(A'\left(0\right)\right)
\]
\(\clubsuit\)
כדי להוכיח את הלמה אנחנו עומדים להשתמש בנוסחה שונה מעט של הדטרמיננטה מזו שהורגלנו אליה:\[
\det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_{k}}\MKsign\left(\sigma\right)\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{i,\sigma\left(i\right)}
\]הסבר מלא (וקצר!) להיותה נכונה מופיע לאחר ההוכחה.
inverted 0status collapsed
הוכחה. ע"פ כלל לייבניץ הנגזרת של הפונקציה \(t\mapsto\prod_{i=1}^{k}a_{i,\sigma\left(i\right)}\left(t\right)\)6כאשר \(\sigma\in S_{k}\), ו-\(a_{ij}\) היא הקואורדינטה ה-\(ij\) של הפונקציה \(A\). היא (לכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\))7הוכחה באינדוקציה.:\[
\sum_{j=1}^{k}\left(a_{j,\sigma\left(j\right)}'\left(t\right)\cdot\prod_{i\neq j}a_{i,\sigma\left(i\right)}\left(t\right)\right)
\]ולכן:\[
\left(\det\circ A\right)'\left(0\right)=\sum_{\sigma\in S_{k}}\left(\MKsign\left(\sigma\right)\cdot\sum_{j=1}^{k}\left(a_{j,\sigma\left(j\right)}'\left(0\right)\cdot\prod_{i\neq j}a_{i,\sigma\left(i\right)}\left(0\right)\right)\right)
\]אבל \(A\left(0\right)=I_{k}\) ולכן לכל \(k\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(\sigma\in S_{k}\) מתקיים \(a_{i,\sigma\left(i\right)}\left(0\right)\neq0\) אם"ם \(\sigma\left(i\right)=i\), כלומר לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(\prod_{i\neq j}a_{i,\sigma\left(i\right)}\left(0\right)\neq0\) אם"ם \(\sigma=\MKid\).\[
\Rightarrow\left(\det\circ A\right)'\left(0\right)=\MKsign\left(\MKid\right)\cdot\sum_{j=1}^{k}\left(a_{j,\MKid\left(j\right)}'\left(0\right)\cdot\prod_{i\neq j}a_{i,\MKid\left(i\right)}\left(0\right)\right)=1\cdot\sum_{j=1}^{k}\left(a_{j,j}'\left(0\right)\cdot\prod_{i\neq j}1\right)=\sum_{j=1}^{k}a_{j,j}'\left(0\right)=\MKtrace\left(A'\left(0\right)\right)
\]
\(\clubsuit\)
כדי להבין מדוע הנוסחה הנ"ל נכונה נתייחס ל-\(\det\) כפונקציה המקבלת \(k\) וקטורים ב-\(\MKreal^{k}\), ונסמן ב-\(v_{j}\) את העמודה ה-\(j\) של \(A\), כלומר \(v_{j}=\sum_{i=1}^{k}a_{ij}\cdot e_{i}\). מהיות \(\det\) מולטי-ליניארית נקבל:\[\begin{align*}
\det\left(A\right) & =\det\left(\MKseq v,k\right)=\det\left(\sum_{i=1}^{k}a_{i,1}\cdot e_{i},\sum_{i=1}^{k}a_{i,2}\cdot e_{i},\ldots,\sum_{i=1}^{k}a_{i,j}\cdot e_{i}\right)\\
& =\sum_{i_{1}=1}^{k}\sum_{i_{2}=1}^{k}\ldots\sum_{i_{k}=1}^{k}\det\left(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots,e_{i_{k}}\right)\cdot\prod_{j=1}^{k}a_{i_{j},j}\\
& =\sum_{1\leq\MKseq i,k\leq k}\det\left(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots,e_{i_{k}}\right)\cdot a_{i_{1},1}\cdot a_{i_{2},2}\cdot\ldots\cdot a_{i_{k},k}
\end{align*}\]ומהיות \(\det\) מתחלפת נדע שאם קיימים \(k\geq j,l\in\MKnatural\) כך ש-\(j\neq l\) ו-\(i_{j}=i_{l}\), אז \(\det\left(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots,e_{i_{k}}\right)=0\); ולכן הסדרות היחידות מהצורה \(\left(\MKseq i,k\right)\), שעליהן אנו מבצעים את הסכימה, הן כאלה שבהן כל המספרים מ-\(1\) עד \(k\) מופיעים בדיוק פעם אחת, כלומר אלו תמורות ב-\(S_{k}\).\[
\Rightarrow\det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_{k}}\det\left(e_{\sigma\left(1\right)},e_{\sigma\left(2\right)},\ldots,e_{\sigma\left(k\right)}\right)\cdot\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma\left(j\right),j}=\sum_{\sigma\in S_{k}}\MKsign\left(\sigma\right)\cdot\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma\left(j\right),j}
\]הנוסחה הזו היא כמעט הנוסחה שלעיל: השוני היחיד הוא בכך שלעיל המכפלה "רצה" על \(a_{i,\sigma\left(i\right)}\) ואילו כעת היא "רצה" על \(a_{\sigma\left(j\right),j}\), אבל \(\det\left(A\right)=\det\left(A^{t}\right)\) ולכן זה לא משנה.
משפט 1.9. הווריאציה הראשונה של שטח תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), ותהא \(\varphi:\MKreal^{n}\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה חלקה כך שלכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\), הפונקציה \(\varphi_{t}\) המוגדרת ע"י \(x\mapsto\varphi\left(x,t\right)\) היא דיפאומורפיזם על \(\MKreal^{n}\), ובנוסף \(\varphi_{0}=\MKid\). לכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\), \(\varphi_{t}\left(M\right)\) היא יריעה קומפקטית (עם/בלי שפה) ודיפאומורפית ל-\(M\), ובנוסף מתקיים:\[
\left.\frac{d}{dt}\MKvol_{k}\left(\varphi_{t}\left(M\right)\right)\right|_{0}=\intop_{M}\MKdiv_{M}X\ d\MKvol_{k}
\]כאשר \(X\) הוא השדה הווקטורי \(x\mapsto\left.\frac{d}{dt}\varphi_{t}\left(x\right)\right|\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. \(\:\)
יהי \(\left(x,t\right)\in M\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\). מהיות \(\varphi_{t}\) רציפה ומהיות \(M\) קומפקטית, נובע שגם \(\varphi_{t}\left(M\right)\) קומפקטית. כדי להוכיח ש-\(\varphi_{t}\left(M\right)\) היא יריעה נשים לב לכך שלכל נקודה \(p\in M\), ופרמטריזציה \(\alpha:U\rightarrow W\) של \(M\) בסביבת \(p\), הפונקציה \(\varphi_{t}\circ\alpha\) היא פרמטריזציה של \(\varphi_{t}\left(M\right)\) בסביבת \(\varphi_{t}\left(p\right)\); וזאת משום שמהיות \(\varphi_{t}\) דיפאומורפיזם על \(\MKreal^{n}\) נובע שהצמצום שלה ל-\(M\) הוא דיפאומורפיזם בין \(M\) ל-\(\varphi_{t}\left(M\right)\). בנוסף נובע מזה שע"פ הנוסחה לחילוף משתנה מתקיים:\[
\MKvol_{k}\left(\varphi_{t}\left(M\right)\right)=\intop_{\varphi_{t}\left(M\right)}1\ d\MKvol_{k}=\intop_{M}V\left(\left.D\varphi_{t}\left(M\right)\right|_{x}\right)\ d\MKvol_{k}\left(x\right)
\]
יהי \(\left(\MKseq e,k\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(T_{x}\left(M\right)\), נסמן ב-\(A_{x}\left(t\right)\) את המטריצה המוגדרת ע"י \(\left[A_{x}\left(t\right)\right]_{ij}=\left<\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{j}\right)\right>\), ונקבל:\[
V\left(\left.D\varphi_{t}\left(M\right)\right|_{x}\right)=\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}
\]מהיות תהליך גרם-שמידט חלק, ומהיות הזוג \(\left(t,x\right)\) שרירותי, נובע שהפונקציה \(\left(x,t\right)\mapsto V\left(\left.D\varphi_{t}\left(M\right)\right|_{x}\right)\) היא פונקציה חלקה. מכאן שע"י גזירה מתחת לסימן האינטגרל נקבל (זהו שוויון בין פונקציות שהארגומנט שלהן הוא \(t\)):\[
\frac{d}{dt}\MKvol_{k}\left(\varphi_{t}\left(M\right)\right)=\frac{d}{dt}\intop_{M}V\left(\left.D\varphi_{t}\left(M\right)\right|_{x}\right)\ d\MKvol_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dt}\intop_{M}\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}\ d\MKvol_{k}\left(x\right)=\intop_{M}\frac{d}{dt}\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}\ d\MKvol_{k}\left(x\right)
\]\[
\Rightarrow\left.\frac{d}{dt}\MKvol_{k}\left(\varphi_{t}\left(M\right)\right)\right|_{0}=\intop_{M}\left.\frac{d}{dt}\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}\right|_{0}\ d\MKvol_{k}\left(x\right)
\]כלומר מה שנשאר לנו להוכיח הוא השוויון הבא (לכל \(x\in M\)):\[
\left.\frac{d}{dt}\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}\right|_{0}=\MKdiv_{M}X\left(x\right)
\]מהשוויון \(\varphi_{0}=\MKid\) נובע ש-\(A_{x}\left(0\right)=I_{k}\) לכל \(x\in M\), ומהלמה (1.5) נקבל שגם (לכל \(x\in M\)):\[
\left.\frac{d}{dt}\sqrt{\det A_{x}\left(t\right)}\right|_{0}=\frac{1}{\sqrt{\det A_{x}\left(0\right)}}\cdot\MKtrace\left(A_{x}'\left(0\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{\det I_{k}}}\cdot\MKtrace\left(A_{x}'\left(0\right)\right)=\MKtrace\left(A_{x}'\left(0\right)\right)
\]ולכן כעת נותר לנו להוכיח שמתקיים \(\MKtrace\left(A_{x}'\left(0\right)\right)=\MKdiv_{M}X\left(x\right)\) (לכל \(x\in M\)), וזה כבר נשמע די סביר, שכן (כזכור) הדיברגנץ הוא העקבה של \(DX\). ע"פ הגדרת \(A\), לכל \(\left(x,t\right)\in M\times\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
A_{x}'\left(t\right) & =\frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^{k}\left<\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>\right)=\sum_{i=1}^{k}\left<\frac{d}{dt}\left(D\varphi\left(t,x\right)\left(e_{i}\right)\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>\\
& =\sum_{i=1}^{k}\left<\left(D\frac{d}{dt}\varphi\left(t,x\right)\right)\left(e_{i}\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<\left(D\frac{d}{dt}\varphi_{t}\left(x\right)\right)\left(e_{i}\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>\\
& =\sum_{i=1}^{k}\left<\left(DX\left(x\right)\right)\left(e_{i}\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<D_{e_{i}}X\left(x\right),\left.D\varphi_{t}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>
\end{align*}\]ולכן לכל \(x\in M\) מתקיים:\[
\MKtrace\left(A_{x}'\left(0\right)\right)=\sum_{i=1}^{k}\left<D_{e_{i}}X\left(x\right),\left.D\varphi_{0}\right|_{x}\left(e_{i}\right)\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<D_{e_{i}}X\left(x\right),\MKid\left(e_{i}\right)\right>=\sum_{i=1}^{k}\left<D_{e_{i}}X\left(x\right),e_{i}\right>=\MKdiv_{M}X\left(x\right)
\]
2 משפט הדיברגנץ
2.1 הגדרות
למה 2.1. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה \(k\)-ממדית עם שפה לא ריקה, ותהא \(\alpha:V\rightarrow W\) פרמטריזציה של \(M\) בסביבת נקודה \(p_{0}\in\partial M\) (כלומר \(V\) היא קבוצה פתוחה ב-\(\MKbbh^{k}\)). תהא \(\tilde{\alpha}:\tilde{V}\rightarrow\MKreal^{n}\) הרחבה חלקה של \(\alpha\) כך ש-\(\tilde{V}\) היא קבוצה פתוחה ב-\(\MKreal^{k}\), נסמן \(x_{0}:=\alpha^{-1}\left(p_{0}\right)\), ותהא \(y:\left[0,\varepsilon\right)\rightarrow\tilde{V}\) מסילה חלקה כך ש-\(y\left(0\right)=x_{0}\) ו-\(\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(y'\left(0\right)\right)=X\left(y\left(p_{0}\right)\right)\). אם \(\left<X\left(p_{0}\right),\nu\left(p_{0}\right)\right><0\)8\(\nu\left(p\right)\) הוא הנורמל החיצוני בנקודה \(p\)., אז קיים \(\tilde{\varepsilon}\in\left(0,\varepsilon\right)\) כך ש-\(y\left(t\right)\in\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\varepsilon}\right]\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. לכל \(v\in\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\MKbbh^{k}\right)\) המסילה \(\gamma:\left[0,\epsilon\right)\rightarrow M\) המוגדרת ע"י \(\gamma\left(t\right):=\alpha\left(x_{0}+t\cdot v\right)\) מקיימת \(\gamma\left(0\right)=p\) ו-\(\gamma'\left(0\right)=v\) , ולכן:\[
\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\MKbbh^{k}\right)\subseteq\left\{ \gamma'\left(0\right)\mid\gamma:\left[0,\epsilon\right)\rightarrow M,\ \gamma\left(0\right)=p_{0}\right\}
\]מכיוון ששתי הקבוצות הללו הן חצאי מרחבים נובע מן ההכלה שהן שוות. וכמו כן \(\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\MKbbh^{k}\right)=\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right>\leq0\right\} \), שהרי אלו שני חצאי מרחבים בעלי שפה משותפת ש-\(\nu\left(p\right)\) אינו שייך לשניהם.\[
\Rightarrow\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\MKbbh^{k}\right)=\left\{ \gamma'\left(0\right)\mid\gamma:\left[0,\epsilon\right)\rightarrow M,\ \gamma\left(0\right)=p_{0}\right\} =\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right>\leq0\right\}
\]נשים לב לכך שמתקיים9השוויון הראשון הוא הגדרת המרחב המשיק, השני הוא משפט שראינו, והשלישי נובע מהגדרת הנורמל החיצוני.:\[
\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\partial\MKbbh^{k}\right)=T_{p_{0}}\left(\partial M\right)=\left\{ \gamma'\left(0\right)\mid\gamma:\left[0,\epsilon\right)\rightarrow\partial M,\ \gamma\left(0\right)=p_{0}\right\} =\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right>=0\right\}
\]וממילא גם:\[
\left.D\tilde{\alpha}\right|_{x_{0}}\left(\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\right)=\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right>\leq0\right\} \setminus\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right>=0\right\} =\left\{ v\in T_{p_{0}}\left(M\right)\mid\left<v,\nu\left(p_{0}\right)\right><0\right\}
\]מכאן שאם \(\left<X\left(p_{0}\right),\nu\left(p_{0}\right)\right><0\) אז קיימת סביבה מלאה של \(x_{0}\) המוכלת ב-\(\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\), ולפיכך קיימת \(\tilde{\varepsilon}\in\left(0,\varepsilon\right)\) כך ש-\(y\left(t\right)\in\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\varepsilon}\right]\).
משפט 2.2. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), ותהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה כך ש-\(M\subseteq U\); יהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק, ותהא \(\varphi:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\times M\rightarrow\MKreal^{n}\) הזרימה של \(X\) על \(M\) לאורך זמן \(\varepsilon\). אם \(X\) משיק ל-\(M\)10למעשה ע"פ ההגדרה היינו צריכים לומר ש-\(\left.X\right|_{M}\) משיק ל-\(M\). ומתקיים \(\left<X\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\) לכל \(p\in\partial M\)11כלומר בכל נקודת שפה השדה הווקטורי מצביע לתוך היריעה., אז מתקיים \(\varphi_{t}\left(p\right)\in M\setminus\partial M\) לכל \(p\in M\) ולכל \(t\in\left(0,\varepsilon\right)\) (כמובן שגם \(\varphi_{0}\left(p\right)=p\in M\)). אם, בנוסף, \(M\) היא יריעה ללא שפה אז מתקיים \(\varphi_{t}\left(p\right)\in M\)לכל \(p\in M\) ולכל \(t\in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. נניח ש-\(X\) משיק ל-\(M\) ושמתקיים \(\left<X\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\) לכל \(p\in\partial M\).
נניח בשלילה שקיימת נקודה \(p\in M\) וקיים \(t\in\left(0,\varepsilon\right)\)12נטפל אח"כ במקרה שבו \(p\notin\partial M\) ו-\(t<0\). כך ש-\(\varphi_{t}\left(p\right)\notin M\setminus\partial M\). תהא \(p\) כנ"ל ונסמן:\[
t_{0}:=\inf\left\{ t\in\left(0,\varepsilon\right)\mid\varphi_{t}\left(p\right)\notin M\right\} ,\ p_{0}:=\varphi_{t_{0}}\left(p\right)
\]מהיות \(M\) קומפקטית נובע ש-\(p_{0}\in M\), א"כ תהא \(\alpha:V\rightarrow W\) פרמטריזציה של \(M\) בסביבת \(p_{0}\)13אם \(p_{0}\in\partial M\) אז נסמן ב-\(\alpha\) הרחבה חלקה של פרמטריזציה כנ"ל., ויהי \(Y:V\rightarrow\MKreal^{k}\) שדה וקטורי המוגדר ע"י (לכל \(x\in V\))14כלומר \(Y\) היא המקבילה של \(X\) ב-\(\MKreal^{k}\).:\[
Y\left(x\right):=\left.D\alpha^{-1}\right|_{\alpha\left(x\right)}\left(X\left(\alpha\left(x\right)\right)\right)
\]
נניח כעת ש-\(p_{0}\notin\partial M\) (במקרה שבו \(p_{0}\in\partial M\) נטפל אח"כ), א"כ \(Y\) הוא שדה וקטורי חלק על הקבוצה הפתוחה \(V\), ועל כן נוכל להשתמש במשפט הקיום והיחידות. א"כ תהא \(y:\left(-\delta,\delta\right)\rightarrow\MKreal^{k}\) אותה מסילה יחידה המקיימת \(y\left(0\right)=\alpha^{-1}\left(p_{0}\right)\) ו-\(y'\left(t\right)=Y\left(y\left(t\right)\right)\) לכל \(t\in\left(-\delta,\delta\right)\). נסמן \(\gamma:=\alpha\circ y\), ונשים לב לכך שע"פ הגדרה \(\gamma\left(0\right)=p_{0}\) ובנוסף (לכל \(t\in\left(-\delta,\delta\right)\)):\[\begin{align*}
\gamma'\left(t\right) & =\left.D\alpha\right|_{\alpha\left(y\left(t\right)\right)}\left(y'\left(t\right)\right)=\left.D\alpha\right|_{\alpha\left(y\left(t\right)\right)}\left(Y\left(y\left(t\right)\right)\right)\\
& =\left.D\alpha\right|_{\alpha\left(y\left(t\right)\right)}\left(\left.D\alpha^{-1}\right|_{\alpha\left(y\left(t\right)\right)}\left(X\left(\alpha\left(y\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\\
& =\left(\left.D\alpha\right|_{\gamma\left(t\right)}\circ\left.D\alpha^{-1}\right|_{\gamma\left(t\right)}\right)\left(X\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)=X\left(\gamma\left(t\right)\right)
\end{align*}\]ע"פ משפט הקיום והיחידות והמסקנה האחרונה (1.3) מתקיים \(\gamma\left(t\right)=\varphi_{t+t_{0}}\left(p\right)\) לכל \(t\in\left(-\varepsilon-t_{0},\varepsilon-t_{0}\right)\cap\left(-\delta,\delta\right)\). מכאן שלכל \(t\in\left(-\varepsilon-t_{0},\varepsilon-t_{0}\right)\cap\left(-\delta,\delta\right)\) מתקיים:\[
\varphi_{t+t_{0}}\left(p\right)=\gamma\left(t\right)=\alpha\left(y\left(t\right)\right)\in W
\]
מההנחה ש-\(p_{0}\notin\partial M\) נובע ש-\(W\subseteq M\), ולכן העובדה שקיים \(0<t\in\MKreal\) כך ש-\(\varphi_{t+t_{0}}\left(p\right)\in W\) מהווה סתירה להגדרת \(t_{0}\).
כעת נניח ש-\(p_{0}\in\partial M\), במקרה כזה ייתכן ש-\(W\nsubseteq M\), משום שאז \(\alpha\) אינה פרמטריזציה של \(p_{0}\) אלא הרחבה חלקה של פרמטריזציה כזו, לכן נזדקק לנימוק אחר. מתקיים \(\left<X\left(p_{0}\right),\nu\left(p_{0}\right)\right><0\), ולכן ע"פ הלמה (2.1)15אכן מתקיים:\[\begin{align*}
& \left.D\tilde{\alpha}\right|_{\alpha^{-1}\left(p_{0}\right)}\left(y'\left(0\right)\right)=\left.D\tilde{\alpha}\right|_{y\left(0\right)}\left(Y\left(y\left(0\right)\right)\right)\\
& =\left.D\tilde{\alpha}\right|_{y\left(0\right)}\left(\left.D\alpha^{-1}\right|_{\alpha\left(y\left(0\right)\right)}\left(X\left(\alpha\left(y\left(0\right)\right)\right)\right)\right)=X\left(\alpha\left(y\left(0\right)\right)\right)=X\left(y\left(p_{0}\right)\right)
\end{align*}\] קיימת \(\tilde{\delta}\in\left(0,\delta\right)\) כך ש-\(y\left(t\right)\in\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\delta}\right]\), וממילא גם \(\gamma\left(t\right)=\alpha\left(y\left(t\right)\right)\in M\setminus\partial M\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\delta}\right]\). מכאן
אם \(M\) היא יריעה ללא שפה אז אותה הוכחה תעבוד גם לכל \(t\in\left(-\varepsilon,0\right)\), השינוי היחיד שנזדקק לו הוא הגדרת \(t_{0}\) כ-\(\sup\left\{ t\in\left(-\varepsilon,0\right)\mid\varphi_{t}\left(p\right)\notin M\right\} \).
נוכיח כעת ש-\(p_{0}\notin\partial M\): נניח בשלילה ש-\(p_{0}\in\partial M\) ומכאן ש-\(\left<X\left(p_{0}\right),\nu\left(p_{0}\right)\right><0\), ולכן ע"פ הלמה (2.1)16אכן מתקיים:\[\begin{align*}
& \left.D\tilde{\alpha}\right|_{\alpha^{-1}\left(p_{0}\right)}\left(y'\left(0\right)\right)=\left.D\tilde{\alpha}\right|_{y\left(0\right)}\left(Y\left(y\left(0\right)\right)\right)\\
& =\left.D\tilde{\alpha}\right|_{y\left(0\right)}\left(\left.D\alpha^{-1}\right|_{\alpha\left(y\left(0\right)\right)}\left(X\left(\alpha\left(y\left(0\right)\right)\right)\right)\right)=X\left(\alpha\left(y\left(0\right)\right)\right)=X\left(y\left(p_{0}\right)\right)
\end{align*}\] קיים \(\tilde{\varepsilon}\in\left(0,\delta\right)\) כך ש-\(y\left(t\right)\in\MKbbh^{k}\setminus\partial\MKbbh^{k}\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\varepsilon}\right]\). מכאן שמתקיים גם \(\gamma\left(t\right)=\alpha\left(y\left(t\right)\right)\in M\setminus\partial M\) לכל \(t\in\left[0,\tilde{\varepsilon}\right]\), ובפרט \(p_{0}=\gamma\left(\right)\)
טענה 2.3. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית עם/בלי שפה, ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. קיים שדה וקטורי נתמך קומפקטית \(\tilde{X}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) המהווה הרחבה חלקה של \(X\) (כלומר \(\tilde{X}\) חלק ו-\(\left.\tilde{X}\right|_{M}=X\)).
להעביר את הטענה הזו אחורה
inverted 0status collapsed
הוכחה. מהיות \(X\) חלק נובע שלכל נקודה \(p\in M\) קיימים \(0<r_{p}\in\MKreal\) ושדה וקטורי חלק \(X_{p}:B_{r_{p}}\left(p\right)\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(X_{p}\left(x\right)=X\left(x\right)\) לכל \(x\in M\cap B_{r_{p}}\). א"כ יהיו \(\MKseq p,l\in M\) ו-\(0<\MKseq r,l\in\MKreal\) כך ש- \(U:=\bigcup_{i=1}^{l}B_{r_{i}}\left(p_{i}\right)\) הוא כיסוי פתוח של \(M\), ובנוסף לכל \(l\geq i\in\MKnatural\) קיים שדה וקטורי חלק \(X_{i}:B_{r_{p}}\left(p\right)\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(X_{i}\left(x\right)=X\left(x\right)\) לכל \(x\in M\cap B_{r_{i}}\left(p\right)\) (מהיות \(M\) קומפקטית נובע שאכן קיימים כאלה). יהי \(\MKseq{\varphi},l\) פיצול יחידה של \(M\) הכפוף לכיסוי \(U\), ויהי \(\tilde{X}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי המוגדר ע"י (לכל \(x\in\MKreal^{n}\)):\[
\tilde{X}\left(x\right):=\begin{cases}
\sum_{i=1}^{l}\varphi_{i}\left(x\right)\cdot X_{i}\left(x\right) & x\in U\\
0 & x\notin U
\end{cases}
\]נסמן \(K:=\bigcup_{i=1}^{l}\MKsupp\left(\varphi_{i}\right)\), מהגדרת פיצול יחידה \(\MKsupp\left(\varphi_{i}\right)\) היא קבוצה קומפקטית לכל \(l\geq i\in\MKnatural\) ולכן \(K\) היא קבוצה קומפקטית המוכלת ב-\(U\) ומקיימת ש-\(\tilde{X}\left(x\right)=0\) לכל \(x\in\MKreal^{n}\setminus K\). מכאן ש-\(\tilde{X}\) הוא שדה וקטורי חלק ונתמך קומפקטית, ובנוסף לכל \(x\in M\) מתקיים \(\tilde{X}\left(x\right)=\sum_{i=1}^{l}\varphi_{i}\left(x\right)\cdot X_{i}\left(x\right)=X\left(x\right)\) שהרי \(M\subseteq U\) ו-\(\MKseq{\varphi},l\) הוא פיצול יחידה.
מסקנה 2.4. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית (עם/בלי שפה), תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה כך ש-\(M\subseteq U\), ויהי \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק כך ש-\(X\) משיק ל-\(M\)17למעשה ע"פ ההגדרה היינו צריכים לומר ש-\(\left.X\right|_{M}\) משיק ל-\(M\).. כמו כן יהי \(\tilde{X}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי נתמך קומפקטית המהווה הרחבה חלקה של \(X\), ותהא \(\varphi:\left(-\tilde{\varepsilon},\tilde{\varepsilon}\right)\times\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) הזרימה של \(\tilde{X}\) לאורך זמן \(\tilde{\varepsilon}\). אם לכל \(p\in\partial M\) מתקיים \(\left<X\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\)18כלומר בכל נקודת שפה השדה הווקטורי מצביע לתוך היריעה., אז קיים \(\varepsilon\in\left(0,\tilde{\varepsilon}\right)\) כך שלכל \(t\in\left(0,\varepsilon\right)\) הקבוצה \(N_{t}:=\varphi\left(\left[0,t\right]\times\partial M\right)\) היא יריעה עם שפה המקיימת:
הצמצום של \(\varphi\) ל-\(\left[0,t\right]\times\partial M\) הוא דיפאומורפיזם בין \(\left[0,t\right]\times\partial M\) ל-\(N_{t}\)
הוכחה
משפט 2.5. משפט הדיברגנץ (הגרסה הכללית) תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית עם/בלי שפה, ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. אם \(X\) משיק ל-\(M\) אז:\[
\intop_{M}\MKdiv_{M}X\thinspace d\MKvol_{k}=\intop_{\partial M}\left<X\left(x\right),\nu\left(x\right)\right>\thinspace d\MKvol_{k-1}\left(x\right)
\]
inverted 0status open
הוכחה. נניח ש-\(X\) משיק ל-\(M\).
ראשית נראה שמספיק להוכיח את המשפט עבור המקרה שבו \(\left<X\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\) לכל \(p\in\partial M\). יהי \(\tilde{Y}:\partial M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי המוגדר ע"י \(\tilde{Y}\left(p\right):=-2\cdot\sup\left\{ \left|\left<X\left(q\right),\nu\left(q\right)\right>\right|:q\in\partial M\right\} \cdot\nu\left(p\right)\), ויהי \(\bar{Y}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי נתמך קומפקטית המהווה הרחבה חלקה של \(\tilde{Y}\). כעת יהי \(Y:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי המוגדר ע"י \(Y\left(p\right):=\pi_{p}\left(\bar{Y}\left(p\right)\right)\), כאשר \(\pi_{p}\) היא ההטלה האורתוגונלית על \(T_{p}\left(M\right)\) (לכל \(p\in M\)). מכאן נובע כי (לכל \(p\in M\)):\[
Y\left(p\right)=\sum_{i=1}^{k}\left<\bar{Y}\left(p\right),e_{i}\left(p\right)\right>\cdot e_{i}\left(p\right)
\]כאשר \(e_{1}\left(p\right),e_{2}\left(p\right),\ldots,e_{k}\left(p\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(T_{p}\left(M\right)\). מהיות תהליך גרם-שמידט חלק נובע שלכל \(p\in M\) קיימת סביבה \(U\) של \(p\), וקיימות העתקות חלקות \(\MKseq e,k:U\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(e_{1}\left(p\right),e_{2}\left(p\right),\ldots,e_{k}\left(p\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(T_{p}\left(M\right)\), ולכן נובע מכאן ש-\(Y\) חלק. מהגדרת \(Y\) נובע כי \(\left<Y\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\) ו- \(\left<\left(Y-X\right)\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\)לכל \(p\in M\), ולכן אם משפט הדיברגנץ נכון עבור שדות וקטוריים המקיימים את התנאי הנ"ל הרי שמתקיים:\[\begin{align*}
\intop_{M}\MKdiv_{M}X\thinspace d\MKvol_{k} & =\intop_{M}\MKdiv_{M}\left(-\left(Y-X\right)+Y\right)\thinspace d\MKvol_{k}=-\intop_{M}\MKdiv_{M}\left(Y-X\right)\thinspace d\MKvol_{k}+\intop_{M}\MKdiv_{M}Y\thinspace d\MKvol_{k}\\
& =-\intop_{\partial M}\left<\left(Y-X\right)\left(x\right),\nu\left(x\right)\right>\thinspace d\MKvol_{k-1}\left(x\right)+\intop_{\partial M}\left<Y\left(x\right),\nu\left(x\right)\right>\thinspace d\MKvol_{k-1}\left(x\right)\\
& =\intop_{\partial M}\left<\left(-\left(Y-X\right)+Y\right)\left(x\right),\nu\left(x\right)\right>\thinspace d\MKvol_{k-1}\left(x\right)=\intop_{\partial M}\left<X\left(x\right),\nu\left(x\right)\right>\thinspace d\MKvol_{k-1}\left(x\right)
\end{align*}\]א"כ נניח ש-\(\left<X\left(p\right),\nu\left(p\right)\right><0\) לכל \(p\in\partial M\).
יהי \(\tilde{X}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי נתמך קומפקטית המהווה הרחבה חלקה של \(X\), ותהא \(\varphi:\left(-\tilde{\varepsilon},\tilde{\varepsilon}\right)\times\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) הזרימה של \(\tilde{X}\) לאורך זמן \(\tilde{\varepsilon}\). ע"פ מסקנה 2.4 קיים \(\varepsilon\in\left(0,\tilde{\varepsilon}\right)\) כך שלכל \(t\in\left(0,\varepsilon\right)\) הקבוצה \(N_{t}:=\varphi\left(\left[0,t\right]\times\partial M\right)\) היא יריעה עם שפה המקיימת:
הצמצום של \(\varphi\) ל-\(\left[0,t\right]\times\partial M\) הוא דיפאומורפיזם בין \(\left[0,t\right]\times\partial M\) ל-\(N_{t}\)
א"כ יהי \(\varepsilon\) כנ"ל.
יהי \(t\in\left(0,\varepsilon\right)\), נוכיח מתקיים \(M=\varphi_{t}\left(M\right)\cup N_{t}\) ו-\(\varphi_{t}\left(M\right)\cap N_{t}=\varphi_{t}\left(\partial M\right)\).
ע"פ משפט 2.2 מתקיים \(\varphi_{t}\left(M\right)\subseteq M\), ומהגדרת \(\varepsilon\) מתקיים \(N_{t}\subseteq M\), מכאן ש-\(\varphi_{t}\left(M\right)\cup N_{t}\subseteq M\). כעת יהי \(p\in M\) ונחלק למקרים: אם \(p\in\partial M\) אז \(p\in N_{t}\), ואם \(p\notin\partial M\) אז ע"פ אותו משפט (2.2) מתקיים \(\varphi_{-t}\left(p\right)\in M\) וממילא \(p=\varphi_{t}\left(\varphi_{-t}\left(p\right)\right)\in\varphi_{t}\left(M\right)\).
מהגדרה מתקיים \(\varphi_{t}\left(\partial M\right)\subseteq\varphi_{t}\left(M\right)\) ו-\(\varphi_{t}\left(\partial M\right)=\varphi\left(\left\{ t\right\} \times\partial M\right)\subseteq\varphi\left(\left[0,t\right]\times\partial M\right)=N_{t}\), מכאן ש-\(\varphi_{t}\left(M\right)\cap N_{t}\supseteq\varphi_{t}\left(\partial M\right)\). יהי \(x\in\varphi_{t}\left(M\right)\cap N_{t}\), ויהיו \(p\in M\), \(q\in\partial M\) ו-\(s\in\left[0,t\right]\) כך ש-\(x=\varphi_{t}\left(p\right)=\varphi_{s}\left(q\right)\); מכאן ש-\(\varphi_{t-s}\left(p\right)=q\) (טענה 1.3), ולכן ע"פ משפט 2.2 מתקיים \(t-s=0\), כלומר \(s=t\) ו-\(x=\varphi_{s}\left(q\right)=\varphi_{t}\left(q\right)\in\varphi_{t}\left(\partial M\right)\), ומזה נובע ש-\(\varphi_{t}\left(M\right)\cap N_{t}\subseteq\varphi_{t}\left(\partial M\right)\).
מסקנה 2.6. משפט הדיברגנץ (ליריעות ללא שפה) תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה קומפקטית \(k\)-ממדית עם/בלי שפה, ויהי \(X:M\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי חלק. אם \(M\) היא יריעה ללא שפה ו-\(X\) משיק ל-\(M\), אז:\[
\intop_{M}\MKdiv_{M}X\thinspace d\MKvol_{k}=0
\]
inverted 0status collapsed
הוכחה. הוכחה1- מקרה פרטי של משפט הדיברגנץ הכללי
הוכחה. הוכחה2- הוכחה ישירה צריך לכתוב את ההוכחה
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );